\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc} % hier nicht utf8x benutzen
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
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\sisetup{locale=DE,separate-uncertainty=true}
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\usepackage[backend=biber]{biblatex}
\addbibresource{Quellen.bib}

% nicht zwingend notwendig
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{colorlinks=true,linkcolor=blue,urlcolor=blue,citecolor=blue}

\title{LaTeX -- Eine Einführung}
\author{Fachschaft Physik}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
	Dies ist eine kurze Einführung, in der wir uns den wichtigsten Elementen des Programms \LaTeX{} widmen wollen. Hierbei gehen wir insbesondere auf den mathematischen Formelsatz ein.
\end{abstract}

\tableofcontents

\newpage

\section{Textbearbeitung}

Im Fließtext können wir einen Zeilenumbruch durch eine Leerzeile erzwingen.

Mit einem weiteren Befehl fügen wir auch einen Abstand ein.\\

Ferner können wir Elemente \emph{hervorheben} und \textbf{fett drucken}. Wir können auch die Schriftgröße {\footnotesize verkleinern} oder {\Large vergrößern}.\footnote{Mehrere Elemente befinden sich in der Toolbox.}

\section{Grafiken importieren}
\label{sec:Grafiken importieren}

\begin{figure}[H]
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{Beispielbild}
	\caption{Diese Abbildung zeigt Garching.}
	\label{fig:Garching}
\end{figure}

Nun können wir auf Abbildung \ref{fig:Garching} verweisen.

\section{Tabellen}
\label{sec:Tabellen}

\begin{table}[H]
	\centering
	\caption{Messergebnisse am einfachen Pendel.}
	\label{tab:Messergebnisse am Pendel}
	\begin{tabular}{l|cccccc}
		Länge in m & \num{0.51} & \num{0.51} & \num{0.50} & \num{0.51} & \num{0.52} & \num{0.51}  \\ \hline
		$T$ in s & \num{2.0} & \num{2.0} & \num{2.1} & \num{2.2} & \num{2.0} & \num{2.01} \\
	\end{tabular}
\end{table}

Tabelle \ref{tab:Messergebnisse am Pendel} zeigt unsere Messergebnisse.

\section{Listen}
\label{sec:Listen}

Bei \LaTeX{} sind folgende Punkte zu berücksichtigen:
\begin{itemize}
	\item Aufmerksam coden.
	\item Falls nötig, Kommentare einfügen.
	\item Regelmäßig speichern und kompillieren.
	\begin{itemize}
		\item Dient der Übersicht und
		\item dem Komfort.
	\end{itemize}
\end{itemize}

Die Reihenfolge sieht wie folgt aus:
\begin{enumerate}
	\item Einleitung
	\item \label{list:Theorie} Theorie
	\item Ergebnisse
	\item Zusammenfassung
\end{enumerate}
Punkt Nummer \ref{list:Theorie} ist besonders wichtig.

% Ein paar Formeln
\section{Mathematischer Formelsatz}
\label{sec:Ein-paar-Formeln}

% Grundlagen
\subsection{Grundlagen}
\label{sec:Grundlagen}

Eine einfache Formel ist eine quadratische Gleichung. Diese können wir im Fließtext $a^2 + b^2 = c^2$ oder separiert setzen.
\begin{equation}
\label{eq:Quadratische Gleichung}
ax^2 + bx + c = 0.
\end{equation}
Um Gleichung \eqref{eq:Quadratische Gleichung} zu lösen und die Lösung $x$ zu finden, benötigen wir die sog. Mitternachtsformel.
\begin{equation}
\label{eq:Mitternachtsformel}
x_{1/2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\end{equation}
Der Binomialkoeffizient ist definiert über
\begin{equation}
\frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}.
\end{equation}
Vektoren und Matrizen kann man definieren über eine tabellenähnliche Umgebung.
\begin{equation}
\vec{a} = \begin{pmatrix}
1 \\ 2 \\ 3
\end{pmatrix},\qquad A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
\end{equation}

\subsection[Summen und anderes]{Summen, Integrale und Klammern}

Wir kommen nun zu etwas, was im AP immer gebraucht wird. Wir definieren den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung.
\begin{align}
\overline{x} = & \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\\
\sigma = & \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}
\end{align}
Integrale können amerikanisch oder deutsch geschrieben werden.
\begin{gather}
\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\dd{x} = \sqrt{\pi}\\
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\dd{x} = \sqrt{\pi}
\end{gather}
Klammern müssen angeglichen werden.
\begin{equation}
(\frac{x^2}{y^3})^4,\qquad
\left(\frac{x^2}{y^3}\right)^4,\qquad
\int\limits_{0}^{3}x^2\dd{x} = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3
\end{equation}
Beachte: $\int\limits_{0}^{3}x^2\dd{x} = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3$ und $\displaystyle\int\limits_{0}^{3}x^2\dd{x} = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3$.

% Der harmonische Oszillator
\subsection{Der harmonische Oszillator}
\label{sec:Der-harmonische-Oszillator}

In Abschnitt \ref{sec:Grundlagen} haben wir uns ein paar einfachen Gleichungen gewidmet. Nun stellen wir den harmonischen Oszillator vor.\\
Ein einfaches Pendel wird beschrieben durch die Kraft
\begin{equation}
F(t) = -mgl\sin(\varphi(t))
\end{equation}
Dies führt nach Newton III zur Bewegungsgleichung \cite{eschbaum}
\begin{equation}
ml^2\ddot{\varphi} = F(t) = -mgl\sin(\varphi).
\end{equation}
Mit der Kleinwinkelnäherung ergibt sich
\begin{gather}
ml^2\ddot{\varphi} \approx -mgl\varphi\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{\varphi} = \dv[2]{\varphi}{t} = - \frac{g}{l}\varphi \\
\varphi(t) = \varphi_0\cos(\omega t),\quad \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\qquad
\Rightarrow\qquad T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.
\end{gather}
Die Schwingungsdauer $T$ ist also direkt proportional zu \(\sqrt{l/g}\). \cite{anger} Nun kann die Gravitationskonstante berechnet werden mit
\begin{equation}
\label{eq:Gravitationskonstante}
g = 4\pi^2\frac{l}{T^2}.
\end{equation}

% Ergebnisse
\section{Ergebnisse}
\label{sec:Ergebnisse}

Aus den in Tabelle \ref{tab:Messergebnisse am Pendel} auf Seite \pageref{tab:Messergebnisse am Pendel} ergeben sich die Werte $l = \SI{51\pm 5}{cm}$ und $T = \SI{2.05\pm 0.08}{s}$. Mit Hilfe von Gleichung \eqref{eq:Gravitationskonstante} finden wir also $g = \SI{9.81\pm 0.21}{m/s^2} = \SI{9.81\pm 0.21e-3}{km/s^2}$.

\printbibliography

\listoffigures

\listoftables

\end{document}