Introduction to Optimization

- Modellierung praktischer Fragestellungen als Optimierungsprobleme
- Unrestringierte Optimierung:
Optimalitätsbedingungen,
global konvergente Abstiegsverfahren,
Newton-Verfahren und Newton-artige Methoden,
Globalisierung lokal konvergenter Verfahren
- Konvexität:
konvexe Mengen,
konvexe Funktionen,
metrische Projektion,
Trennungssätze
- Lineare Optimierung (LP):
Polyeder,
LP-Dualität,
Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen für LP,
(duales) Simplex-Verfahren

Nach der erfolgreichen Teilnahme am Modul beherrschen die Studierenden die vermittelten grundlegenden Konzepte und Methoden der unrestringierten nichtlinearen Optimierung, der Konvexität und der linearen Optimierung. Die Studierenden können in der Praxis auftretende Aufgabenstellungen in der einschlägigen mathematischen Fachsprache als Optimierungsproblem modellieren und klassifizieren. Sie sind in der Lage problemabhängig Optimalitätsbedingungen der unrestringierten und linearen Optimierung herzuleiten. Die Studierenden besitzen ein geometrisches Verständnis für die Konzepte und Methoden der unrestringierten nichtlinearen Optimierung, der Konvexität und der linearen Optimierung und können die in diesem Kontext auftretenden innermathematischen und angewandten Fragestellungen analysieren und lösen.
Die Studierenden kennen die sach- und fachgerechten Optimierungsverfahren (z.B. global konvergente Abstiegsverfahren, Newton-Verfahren, Newton-artige Methoden und Simplex-Verfahren) und können diese im richtigen Kontext anwenden. Sie sind in der Lage den Rechenaufwand und das Konvergenzverhalten von Optimierungsmethoden zu analysieren und zu bewerten

MA0001 Analysis 1, MA0002 Analysis 2, MA0004 Lineare Algebra 1, MA0005 Lineare Algebra 2 und Diskrete Strukturen,
empfohlen: MA0008 Numerik

Das Modul wird als Vorlesung mit begleitender Übungsveranstaltung angeboten.
In der Vorlesung werden die Inhalte im Vortrag durch anschauliche Beispiele motiviert sowie durch Diskussion mit den Studierenden vermittelt. Die Vorlesung soll den Studierenden dabei auch als Motivation zur eigenständigen inhaltlichen Auseinandersetzung mit den Themen sowie zum Studium der Literatur dienen.
Jeweils passend zu den Vorlesungsinhalten werden in den Übungsveranstaltungen Aufgabenblätter und deren Lösungen angeboten, die die Studierenden zur selbstständigen Kontrolle sowie zur Vertiefung der gelernten Methoden und Konzepte nutzen. Nachdem dies anfangs durch Anleitung erfolgt, wird dies im Laufe des Semesters immer mehr selbstständig einzeln beziehungsweise gegebenenfalls auch in Kleingruppen vertieft.

Tafelarbeit, Übungsblätter

Literatur:
- P. Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung, Springer, 2013.
- M. Ulbrich, S. Ulbrich: Nichtlineare Optimierung, Birkhäuser, 2012.
- C. Geiger, C. Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben, Springer, 1999.
- J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal: Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2001.
- J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, 2006.
- R. J. Vanderbei: Linear Programming - Foundations and Extensions, Springer, 2008.

Die Prüfungsleistung wird in Form einer Klausur (90 Minuten) erbracht. In dieser wird, beispielsweise - anhand von Verständnis- und Wissensfragen, Beweis- und Programmieraufgaben sowie Aufgaben, die konkrete Rechnungen erfordern, überprüft, inwieweit die Studierenden die vermittelten grundlegenden Konzepte und Methoden der unrestringierten nichtlinearen Optimierung, der Konvexität und der linearen Optimierung beherrschen, für diese eine geometrische Anschauung entwickelt haben, und in der Praxis auftretende Probleme angemessen modellieren können.