Geometry

Die Vorlesung deckt ausgewählte grundlegende Themen aus den Bereichen projektive Geometrie, Differentialgeometrie und kombinatorische Geometrie ab. Insbesondere soll ein versierter Umgang und angemessene Methodenwahl für die Behandlung von Objekten in Ebene, Raum und höheren Dimensionen vermittelt werden. Zu den behandelten Themen der drei Bereiche gehören.
- Projektive Geometrie: Homogene Koordinaten, reelle projektive Ebene, Transformationen, projektive Gerade über R und C, Cayley-Klein Ansatz zur Euklidischen Geometrie.
- Differentialgeometrie: Theorie ebener und räumlicher Kurven, Räumliche Flächentheorie, Krümmungs und Torsionsmaße, Gaussabbildung, Satz von Gauss Bonet.
- Kombinatorische Geometrie: Inzidenzsysteme, Matroide, Polytope, Seitenverband, Euler Charakteristik, geometrische Symmetriegruppen.
Insbesondere werden auch Querbezüge der einzelnen Themenbereiche dargestellt und dadurch ein ganzheitliches Bild des Faches Geometrie vermittelt. Großer Wert wird auch auf das Erlernen von Visualisierungsmöglichkeiten geometrischer Objekte gelegt.

Nach dem erfolgreichen Abschluss des Moduls Geometrie sind die Studierenden in der Lage, die grundlegenden Konzepte (Grundlegende erlernte Konzepte umfassen hierbei die Darstellung von Objekten und geometrischen Operationen, Durchführen von Transformationen, sowie das Berechnen verschiedener charakteristischer Maßzahlen) der Geometrie sachgerecht anzuwenden. Insbesondere sind sie in der Lage, geometrische Objekte mit Methoden der Algebra, Analysis und Kombinatorik formal zu beschreiben und Berechnungen an diesen Objekten vorzunehmen. Die Studierenden kennen Visualisierungsmöglichkeiten geometrischer Objekte und sind in der Lage diese durchzuführen.

MA0001 Analysis 1, MA0002 Analysis 2, MA0003 Lineare Algebra 1, MA0004 Lineare Algebra 2 und Diskrete Strukturen
Für Studierende für Lehramt an Gymnasien:
FPSO 2019: MA1005 Analysis 1 LG, MA1006 Analysis 2 LG, MA1105 Lineare Algebra 1 LG, MA1106 Lineare Algebra 2 LG, MA1107 Diskrete Strukturen LG

Das Modul wird als Vorlesung mit begleitenden Übungen angeboten. In der Vorlesung werden die Inhalte im Vortrag durch anschauliche Beispiele sowie durch Diskussion mit den Studierenden vermittelt. Die Vorlesung soll den Studierenden dabei auch als Motivation zur eigenständigen inhaltlichen Auseinandersetzung mit den Themen sowie zum Studium der Literatur dienen. Jeweils passend zu den Vorlesungsinhalten werden in den Übungsveranstaltungen Aufgabenblätter und deren Lösungen angeboten, die die Studierenden zur selbstständigen Kontrolle sowie zur Vertiefung der gelernten Methoden und Konzepte nutzen sollen. Nachdem dies anfangs durch Anleitung passiert, wird dies im Laufe des Semesters immer mehr selbstständig einzeln und zum Teil auch in Kleingruppen.

elektronische Tafel, interaktive Applets, Präsentationen

J. Richter-Gebert, Perspectives on Projective Geometry.
H.S.M. Coxeter, The real projective Plane.
Kowol, Projektive Geometrie und Cayley-Klein Geometrien der Ebene.
do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992. Helgason: Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, AMS 2001.
Kühnel: Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2005.
V. V. Prasolov & V. M. Tikhomirov. Geometry. Translations of Mathematical Monographs, 200. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
H. S. M. Coxeter. Non-Euclidean Geometry. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1998.

Die Prüfungsleistung wird in Form einer Klausur (90 Minuten) erbracht. In dieser wird überprüft, inwieweit die Studierenden die grundlegenden Konzepte verschiedener Bereiche der Geometrie, die in der Vorlesung vermittelt wurden verstanden haben und anwenden können. Themengebiete umfassen hier insbesondere Grundlagen Projektiver Geometrie (z.B. homogene Koordinaten, Inzidenzsätze, Transformationen, projektive Interpretation Euklidischer Geometrie), Grundlagen der Differentialgeometrie (z.B. Ebene und räumliche Kurven, Flächen im Raum, Krümmungs- und Torsionstheorie) und Elemente der kombinatorischen Geometrie (z.B. Matroide, Polytope, Seiten-Verbände, Symmetrien). In einer schriftlichen Prüfung wird das Verständnis der in den Lehrveranstaltungen behandelten Themen durch Kurzfragen und Anwendung auf verschiedene Problemstellungen abgeprüft.