Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Discrete Probability Theory

-Grundlagen der (diskreten) Wahrscheinlichkeitstheorie
++ Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse, Prinzip der Inklusion/Exklusion, Boolesche Ungleichung, bedingte Wahrscheinlichkeit, Multiplikationssatz, Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes, Unabhängigkeit
++ Zufallsvariablen, Erwartungswert, Varianz, Linearität des Erwartungswertes, bedingte Zufallsvariablen und deren Erwartungswert, Varianz, Momente und zentrale Momente, mehrere Zufallsvariablen und deren gemeinsame Dichte & Verteilung, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Momente zusammengesetzter Zufallsvariablen, Indikatorvariablen
++ diskrete Verteilungen: Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung, geometrische Verteilung, Coupon-Collector-Problem, Poisson-Verteilung, Zusammenhänge unter den Verteilungen
++ Methoden zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten, Ungleichungen von Markov und Chebyshev, Chernoff Schranken
++ Gesetz der großen Zahlen
++ wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen und deren Anwendung auf Verteilungen, momenterzeugende Funktionen mit verschiedenen Anwendungen

-Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
++ kontinuierliche Zufallsvariablen, Kolmogorov Axiome, sigma-Algebren, Lebesgue-Integrale, Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen, Simulation von Zufallsvariablen
++ kontinuierliche Verteilungen: Gleichverteilung, Normalverteilung und lineare Transformation, Exponentialverteilung und Warteprozesse, Zusammenhang mit diskreten Verteilungen
++ mehrere kontinuierliche Zufallsvariablen, Randverteilungen und Unabhängigkeit, Summen von Zufallsvariablen
++ Momenterzeugende Funktionen für kontinuierliche Zufallsvariablen
++ Zentraler Grenzwertsatz

-Induktive Statistik
++ Schätzvariablen, Maximum-Likelihood-Prinzip, Konfidenzintervalle, Testen von Hypothesen, Entwicklung und Anwendung von statistischen Tests

-Stochastische Prozesse
++ Prozesse mit diskreter Zeit, Markovketten, Übergangswahrscheinlichkeiten, Ankunftswahrscheinlichkeiten, Übergangszeiten, Rückkehrzeiten, Fundamentalsatz für ergodische Markovketten

Nach erfolgreichem Abschluss des Moduls
- sind die Teilnehmer mit wichtigen Konzepten der diskreten und kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräume sowie der stochastischen Prozesse vertraut und können diese in weiten Teilen selbst herleiten
- beherrschen Rechenregeln zur Bestimmung und Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerten und Varianzen,
- sind in der Lage, reale Probleme auf abstrakte Wahrscheinlichkeitsräume abzubilden und
- können einfache statistische Tests fachgerecht anwenden.

IN0015 Diskrete Strukturen, MA0901 Lineare Algebra für Informatik, MA0902 Analysis für Informatik

Das Modul besteht aus einer Vorlesung und einer begleitenden Übung. Die Inhalte der Vorlesung werden im Vortrag und durch Präsentation vermittelt. Studierende werden durch kleine, im Laufe der Vorträge gestellte Aufgaben, sowie durch die Lösung von Übungsblättern zur inhaltlichen Auseinandersetzung mit den Themen angeregt. Die Lösung der Übungsaufgaben wird in der Übungsveranstaltung besprochen.

Folienpräsentation, Tafelanschrieb, Übungsblätter.

- T. Schickinger, A. Steger: Diskrete Strukturen - Band 2, Springer Verlag, 2001
- Nobert Henze: Stochastik für Einsteiger, Vieweg, 2004
- R. Mathar, D. Pfeifer: Stochastik für Informatiker, B.G. Teubner Stuttgart, 1990
- M. Greiner, G. Tinhofer: Stochastik für Studienanfänger der Informatik, Carl Hanser Verlag, 1996
- H. Gordon: Discrete Probability, Springer-Verlag, 1997
- R. Motwani, P. Raghavan: Randomized Algorithms, Cambridge University Press, 1995
- L. Fahrmeir, R. Künstler, I. Pigeot, G. Tutz: Statistik - Der Weg zur Datenanalyse, Springer-Verlag, 1997

Die Prüfungsleistung wird in Form einer 120-minütigen Klausur erbracht, die sich aus drei verschiedenen Aufgabentypen zusammensetzt. Verständnisaufgaben überprüfen, ob die Studierenden Grundbegriffe und Sätze verinnerlicht haben, typischerweise dadurch, dass sie die Begriffe auf Beispiele anwenden. Algorithmische Aufgaben testen, ob die Studierenden die in der Vorlesung eingeführten Rechenregeln beherrschen und anwenden können. Modellierungsaufgaben prüfen die Fähigkeit der Studierenden, konkrete Probleme als abstrakte Zufallsexperimente zu modellieren und mithilfe der mathematischen Mittel der Vorlesung zu lösen.