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\hyphenation{Glei-chung}
\author{Lennart Schmidt, Steffen Maurus}
\title{Kreisprozesse}

\begin{document}

\linespread{1,5}
\setcounter{secnumdepth}{2}

\begin{titlepage}
{\centering \LARGE Ferienkurs Experimentalphysik II Elektro- und Thermodynamik\\[45mm]}
{\centering \LARGE Thermodynamik Teil II\\[5mm]\bf  \\[35mm]}

\begin{center}
\today \\
Michael Mittermair
\end{center}
\end{titlepage}

\tableofcontents

\begin{flushleft}
\chapter{Allgemeines}


\section{Kategorisierung von Systemen}
Es gibt drei Arten von thermodynamischen Systemen.\\
\begin{itemize}
\item Isoliertes System:\\
Kein Austausch von Energie oder Teilchen mit der Umgebung
\item Geschlossenes System: Kein Teilchenaustausch mit der Umgebung. Der Austausch von Energie ist möglich.
\item Offenes System: Sowohl der Austausch von Energie, als auch der Austausch von Teilchen mit der Umgebung ist möglich.
\end{itemize}


\section{Zustandsgrößen}
Zustandsgrößen sind makroskopische physikalische Größen, die nur vom momentanen Zustand abhängen. Man kann sie wie eine Momentaufnahme interpretieren.\\
Ihre Änderung kann man mit einem Integral über das vollständige Differential bestimmen. Dieses Integral ist vom Weg unabhängig. Es gilt
\begin{center}
$\Delta Z=\int\limits_a^b dZ \\
\oint dZ=0$
\end{center}
Zu den Zustandsgrößen zählen: p, T, V, N, U, S(Entropie)\\
Die Wärme Q ist \underline{keine} Zustandsgröße.

\section{Zustandsänderungen bei idealen Gasen}
Die Änderung der inneren Energie U ergibt sich nach den 1. Hauptsatz durch die Summe der zugeführten Wärme abzüglich der vom System verrichteten Arbeit, sie wird beschrieben durch
\begin{center}
$dU=\delta Q -pdV$
\end{center}



\subsection{Isotherme Expansion/Kompression}
Isotherm bedeutet, dass sich die Temperatur des Systems nicht verändert, d.h. $dT=0$\\

Damit gilt automatisch für ein ideales Gas, dass sich die innere Energie nicht ändert, somit folgt
\begin{center}
$dU=0 \\
\delta Q=pdV$
\end{center}

Durch Integration des Volumen von $V_1 \rightarrow V_2$ erhält man
\begin{center}
$\Delta Q=\int\limits_{V_1}^{V_2} pdV= \int\limits_{V_1}^{V_2}\dfrac{\nu}RT}{V}dV=\nu RT*ln \left(\dfrac{V_2}{V_1}\right) = - \Delta W$
\end{center}


\subsection{Isochore Zustandsänderung}
Isochor bedeutet, dass sich das Volumen nicht ändert, d.h. $dV=0$\\
Es folgt unmittelbar
\begin{center}
$\delta W=-pdV=0$
\end{center}
und somit 
\begin{center}
$\delta Q=dU \\
\Delta Q =\nu C_{\nu}\Delta T$
\end{center}



\subsection{Isobare Zustandsänderung}
Isobar heißt, dass der Druck auf das System unverändert bleibt und somit $dp=0$\\

\begin{center}
$\delta W=-pdV$
\end{center}

Da p konstant ist vereinfacht sich das Integral, mit dem die Arbeit berechnet wird
\begin{center}
$\Delta W=-\int\limits_{V_1}^{V_2} p dV=-p(V_2-V_1)$
\end{center}

Die Wärme geht dabei komplett in die Erhöhung der Temperatur ein.

\begin{center}
$\Delta Q= \nu C_p \Delta T$
\end{center}

Die Änderung der inneren Energie ergibt sich dann durch die Summe der beiden
\begin{center}
$\Delta U= \Delta Q + \Delta W$
\end{center}


\subsection{Adiabatische Expansion/Kompression}
Bei der adiabatischen Expansion wird keine Wärme übertragen $\delta Q=0$
\\
Aus\begin{center}
$dU=-pdV \\
\nu C_V dT=-pdV=-\dfrac{\nu RT}{V}dV$
\end{center}
erhält man durch Rechnung die sogenannten \underline{Adiabatengleichungen} 
\begin{center}
$T*V^{\kappa -1}=const \\
p*V^{\kappa} =const$
\end{center}
mit dem Adiabatenexponenten $\kappa =\dfrac{C_p}{C_V}$



\chapter{Kreisprozesse}
Ein Kreisprozess bezeichnet eine Abfolge von Zustandsänderungen, die so abläuft, dass nach einer gewissen Zeit (Periode) der Ausgangszustand wieder erreicht wird. Dabei stellt der Rückweg eine andere Abfolge von Zustandsänderungen dar, als der Hinweg. Es wird die Annahme gemacht, dass ausschließlich reversible Änderungen ablaufen.\\

Da die innere Energie eine Zustandsgröße ist, muss sie nach einmaligem Durchlaufen wieder den gleichen Wert annehmen. Damit folgt
\begin{center}
$\Delta Q + \Delta W =0$
\end{center}

\section{Der Strilingmotor}
Als Beispiel zur Erläuterung der Abläufe in einem Kreisprozess soll nun die Energetik des Stirlingmotors dienen.

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Energetik.jpg}
\end{center}

Die Übergänge von 1 auf 2 und von 3 auf 4 sind jeweils isotherm, während 2 auf 3 und 4 auf 1 je einen isochoren Übergang beschreiben.\\
Für die dabei aufgenommenen Wärmemengen für jeden Übergang lassen sich über die jeweilige verrichtete Arbeit berechnen.

\begin{center}
$\Delta Q_1_2=\nu \cdot R\cdot T_1 \cdot ln(\dfrac{V_2}{V_1}) \\
\Delta Q_2_3=\nu \cdot C_V \cdot (T_2 - T_1) \\
\Delta Q_3_4=\nu \cdot R\cdot T_2 \cdot ln(\dfrac{V_1}{V_2}) \\
\Delta Q_4_1=\nu \cdot C_V \cdot (T_1-T_2)$ \\
\end{center}

Mit $\Delta U = \Delta W + \Delta Q =0$ folgt für die 
Arbeit, die bei einem Umlauf geleistet wird $\Delta W =- \Delta Q$\\

Für die gesamte Wärmebilanz und somit die Arbeit in einem Umlauf ergibt sich
\begin{center}
$ \Delta Q= \Delta Q_1_2 +\Delta Q_2_3 + \Delta Q_3_4 + \Delta Q_4_1= \nu \cdot C_V \cdot (T_1-T_2) \cdot ln (\dfrac{V_2}{V_1}=-\Delta W$
\end{center}

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine ist definiert als
\begin{center}
\eta =\dfrac{abgegebene Arbeit}{aufgenommene Wärme}$=\vert \dfrac{\Delta W}{\Delta Q_1_2}\vert = \dfrac{\nu \cdot R \cdot (T_1-T_2)\cdot ln(V_2 / V_1)}{\nu \cdot R \cdot T_1\cdot ln(V_2 / V_1)}\\
\eta = 1- \dfrac{T_2}{T_1}$
\end{center}


\section{Der Carnot-Prozess}
Der Carnot-Prozess ist ein streng reversibel geführter idealer Kreisprozess


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Carnot.jpg}
\includegraphics[scale=1]{CarnREch.jpg}
\end{center}

Aus der Adiabatengleichung erhalten wir

\begin{center}
$T_1 \cdot V_B^{\kappa -1} = T_3 \cdot V_C^{\kappa -1} \\
T_3 \cdot V_D^{\kappa -1} = T_1 \cdot V_A^{\kappa -1} \\
\dfrac{V_B}{V_A}=\dfrac{V_C}{V_D} $
\end{center}

Für die Gesamtbilanz der Arbeit erhalten wir
\begin{center}
$\Delta W= \Delta W_1 + \Delta W_2 + \Delta W_3 +\Delta W_4  = \\ =-\nu \cdot R \cdot T_1 \cdot ln(\dfrac{V_B}{V_A})
-\nu \cdot R \cdot T_3 \cdot ln(\dfrac{V_D}{V_C})= \\
=-\nu \cdot R \cdot (T_1 - T_3) \cdot ln(\dfrac{V_B}{V_A})$
\end{center}

Der Wert ist negativ, woraus folgt, dass das System die Arbeit abgibt, also Arbeit leistet\\
Für den Wirkungsgrad gilt wiederum
\begin{center}
$\eta_C= \vert \dfrac{\Delta W}{\Delta Q_1}\vert = 
\dfrac{\nu \cdot R \cdot (T_1 - T_3) \cdot ln(\dfrac{V_B}{V_A})}{\nu \cdot R \cdot T_1 \cdot ln(\dfrac{V_B}{V_A})}=1-\dfrac{T_3}{T_1} < 1$
\end{center}

Der Carnot'sche Wirkungsgrad $\eta _C$ beschreibt den maximalen Wirkungsgrad, den eine Wärmekraftmaschine erreichen könnte. Bei realen Wärmekraftmaschinen wird dieser nicht erreicht.\\

Lässt man einen solchen Prozess in die andere Richtung ablaufen, so hat man statt einer Wärmekraftmaschine eine Wärmepumpe bzw. Kältemaschine, mit der man einem System durch den Einsatz von Arbeit Wärme zufügen bzw. entziehen kann. Der "Wirkungsgrad" einer solchen Maschine ist gegeben durch $\eta _{WP}=\varepsilon = \vert\dfrac{\Delta Q_1}{\Delta W}\vert = \dfrac{1}{\eta _C}=\dfrac{T_1}{T_1 - T_3}$ bzw. $\eta _{KM}=\varepsilon _0 = \vert\dfrac{\Delta Q_3}{\Delta W}\vert = \dfrac{1}{\eta _C}=\dfrac{T_3}{T_1 - T_3}$ man bezeichnet diesen Wert auch als Leistungsziffer.




\chapter{Die Entropie des idealen Gases}
\section{Definition} Die Entropie wird definiert als
\begin{center}
$dS=\dfrac{\delta Q_{rev}}{T}$
\end{center}

Damit folgt für die infinitesimale Änderung der inneren Energie


\begin{center}
$dU=TdS -pdV\\
dS=\dfrac{1}{T}(dU+pdV)$
\end{center}

Bei einer Zustandsänderung von V_0, T_0 \rightarrow V,T\\


\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{Entropie.jpg}
\end{center}
1. Integration entlang der Isochoren:
\begin{center}
$S(T,V_0)-S(T_0,V_0)=\int \limits_{T_0}^T \dfrac{1}{T}dU=\int \limits_{T_0}^T \dfrac{\nu C_V}{T}dT=\nu C_V ln(\dfrac{T}{T_0})$
\end{center}
2.Die Integration entlang der Isothermen:
\begin{center}
$S(T,V) -S(T_0, V_0)=\nu C_V ln(\dfrac{T}{T_0}+\int\limits_{V_0}^V \dfrac{\nu R}{V}dV \\
S(T,V) -S(T_0, V_0)=\nu \left( C_v ln\left( \dfrac{T}{T_0}\right) + Rln \left(\dfrac{V}{V_0}\right)\right)$
\end{center}



\section{Interpretation der Entropie}
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{StatEnt.jpg}
\end{center}

Die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen in einem Teilvolumen V_1 anzutreffen ist gegeben durch $P_1=\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{1}{n}$\\
Für die Wahrscheinlichkeit N-Teilchen in einem Volumen $V_1$ zu finden muss man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilchen multiplizieren, damit ergibt sich: $P_N=P_1^N=\left(\dfrac{V_1}{V}\right)^N$\\

Die Entropieänderung eines Gases von V auf $V_1$ ergibt sich nach der Definition zu
\begin{center}
$\Delta S(V)= \nu \cdot R ln\left(\dfrac{V_1}{V}\right)= k_B \cdot N \cdot ln\left(\dfrac{V_1}{V}\right)=k_B \cdot ln P_N$
\end{center}

$\Delta S$ ist hier ein negativer Wert, da $\dfrac{V_!}{V} < 1$ ist. Damit folgt für die Kompression, eine Verringerung der Entropie. Die Entropie ist also für den unwahrscheinlicheren Zustand geringer. Man kann die Entropie also mit der Wahrscheinlichkeit einen Makrozustand realisiert zu finden in Verbindung bringen.
allgemein gilt
\begin{center}
$S=k_B \cdot ln\Omega$$ 
\end{center}

Wobei $\Omega$ ist dabei die Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des Makrozustands.

\section{Mischungsentropie}

Die Entropie eines Gemisches zweier unterschiedlicher Stoffe mit den Teilchenzahlen $N_1$ und $N_2$ und der Gesamtteilchenzahl $N_0 = N_! +N_2$ ergibt sich nach der allgemeinen Formel für die Entropie zu
\begin{center}
$S_{Mischung} =k_B ln(\Omega)$ mit $\Omega = \dfrac{N_0!}{N_1! \cdot N_2!}$
\end{center}
Durch $ln(N!)= N\cdot ln(N)-N$ ergibt sich dann

\begin{center}
$S_{Mischung}=R \cdot \left( \nu_1 ln\left(\dfrac{N_1+N_2}{N_1}\right) +\nu_2 ln \left(\dfrac{N_1+N_2}{N_2}\right) \right)$
\end{center}


\chapter{Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik}

Für den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gibt es mehrere äquivalente Formulierungen:\\
\begin{itemize}
\item Wärme fließt spontan von Warm nach Kalt
\item Es gibt kein Perpetuum-Mobile zweiter Art. Also keine Maschine, die nur einem einzelnen Reservoir Wärme entzieht und in mechanische Arbeit umwandelt.
\Es ist unmöglich Wärme vollständig in Arbeit zu verwandeln
\item Bei einem reversiblen Kreisprozess erreicht die Entropie nach einem Umlauf wieder den selben Ausgangswert. 
\end{itemize}

\chapter{Reversible und Irreversible Prozesse}
\section{Reversible Prozesse}
Reversible Vorgänge können ohne äußeren Einfluss auch in umgekehrte Richtung stattfinden. Das System läuft dabei durch eine Reihe von Gleichgewichtszuständen. Es treten keine dissipativen Kräfte wie z.B. Reibung auf. Sie sind eine quasistatische Idealisierung.


\section{Irreversible Prozesse}
Diese Prozesse können \underline{nicht} spontan in die umgekehrte Richtung ablaufen. In der Realität sind alle Zustandsänderungen mit irreversiblen Prozessen verknüpft.


\section{Clausius'sche Ungleichung}

Da die Entropie eine Zustandsgröße ist, gilt für einen reversiblen Kreisprozess
\begin{center}
$\oint dS=\oint \dfrac{\delta Q_{rev}} {T}=0$
\end{center}

Bei einer irreversiblen Zustandsänderung gilt jedoch
\begin{center}
$\oint \dfrac{\delta Q}{T} < 0$
\end{center}

Insgesamt gilt also die Clausius'sche Ungleichung
\begin{center}
$\oint
\dfrac{\delta Q}{T}\leq 0$
\end{center}



%noch was?


\chapter{Thermodynamische Potentiale}

\section{Die innere Energie}
Die innere Energie stellt die Aufsummierung aller Energieformen dar. Somit ist die Änderung der inneren Energie gegeben als
\begin{center}
$dU=Tds - pdV + \mu dN + ...$
\end{center}
$\mu$ ist dabei das chemische Potential, also die Energie die nötig ist, um dem System ein weiteres Teilchen zuzuführen.\\

Somit lassen sich alle relevanten Zustandsgrößen durch Ableitungen von U darstellen.
\begin{center}
$T=\dfrac{\partial U}{\partial S}\vert_{V,N}\\
p=\dfrac{\partial U}{\partial V}\vert_{S,N}\\
\mu =\dfrac{\partial U}{\partial N}\vert_{S,V}$
\end{center}

%passt das?

\section{Die freie Energie}
Da diese natürlichen Variablen im Experiment oft schwer zu kontrollieren sind(Wie misst man Entropie?). Deshalb wird ein neues thermodynamisches Potential definiert
\begin{center}
$F=U-TS$ 
\end{center}
damit folgt
\begin{center}
$dF= dU -Tds -SdT= -SdT-pdV+\mu dN$
\end{center}

Wiederum lassen sich wichtige Zustandsgrößen durch Ableitungen bestimmen

\begin{center}
$S=\dfrac{\partial F}{\partial T}\vert_{V,N}\\
p=-\dfrac{\partial F}{\partial V}\vert_{T,N}\\
\mu =\dfrac{\partial F}{\partial N}\vert_{T,V}$
\end{center}

Bei Systemen konstanter Temperatur und konstanter Teilchenzahl gilt
\begin{center}
$dF\vert _{T,N}=-pdV$
\end{center}
Die Energieänderung entspricht in diesem Fall der am System geleisteten Volumenarbeit.
\\
Bei konstantem T,V und N gilt $dF \leq 0$, da irreversible, spontan ablaufende Prozesse zu einer Minimierung von F führen. Im Gleichgewicht ist F minimal.


\section{Die Enthalpie}

Die Enthalpie H bezeichnet sozusagen den Wärmeinhalt eines Systems. Sie ist definiert durch
\begin{center}
$H:= U +pV= TdS -pdV +\mu dN + pdV +Vdp$
\end{center}
Damit gilt für das Differential
\begin{center}
$dH=TdS+Vdp+\mu dN$
\end{center}
und für die Ableitungen
\begin{center}
$T=\dfrac{\partial H}{\partial S}\vert_{p,N}\\
V=-\dfrac{\partial H}{\partial p}\vert_{S,N}\\
\mu =\dfrac{\partial H}{\partial N}\vert_{S,p}$
\end{center}

In einem System mit konstantem S,p und N führen spontane Prozesse zu einer Minimierung von H.


\section{Die freie Enthalpie}

Die freie Enthalpie G stellt sozusagen eine Kombination aus freier Energie und Enthalpie dar. Sie ist definiert als
\begin{center}
$G:= U +pV -TS$
\end{center}
ihr Differential ist damit
\begin{center}
$dG = -SdT + Vdp + \mu dN$
\end{center}
Und wiederum kann man Ableitungen aufstellen

\begin{center}
$S=\dfrac{\partial G}{\partial T}\vert_{p,N}\\
V=\dfrac{\partial G}{\partial p}\vert_{T,N}\\
\mu =\dfrac{\partial G}{\partial N}\vert_{T,p}$
\end{center}

In einem System mit konstantem T, p und N führen spontane Prozesse zu einer Minimierung von G. Die freie Enthalpie ist v.a. dazu geeignet chemische Reaktionen zu beschreiben, da diese oft unter isothermen und isobaren Bedingungen ablaufen.


\chapter{Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik}

Allgemeine Formulierung: $S(T=0)$ ist eine endliche Konstante, unabhängig von p und V\\
Folgerungen: \\
1. Damit $\Delta S = S(T)- S(T=0)=\int\limits_0^T \dfrac{c_V}{T}dT$ endlich bleibt, muss $c_V(T)\rightarrow 0$ für $T\rightarrow 0$ gelten. Genau so für $c_p$\\
2. Der absolute Nullpunkt ist unerreichbar

























\end{flushleft}

\end{document}